この問題のポイント
音源と観測者のどちらがどの方向に向かっているかに注意して、ドップラー効果の公式を利用しよう！
問1 音源とその音を聞く観測者がいて、そのどちらか（あるいは両方）が動いているとき、ドップラー効果を考えるということは多いです。ドップラー効果とは、観測者と音源が互いに近づくと音が高く聞こえ、互いに遠ざかると音が低く聞こえる現象のことです。
音の高さが変わるということは振動数が変わるということになります。それを公式にしたのが下になります。
音速を$V$、観測者が感知する振動数を$f$[Hz]、音源が出す振動数を$f_0$[Hz]、音源の速度を$t$[m/s]、観測者の速度を$u$[m/s]とすると、
\( \displaystyle f = \frac{V-u}{V-t}f_0 \)
これを利用していきながら考えましょう。
まず、観測者に聞こえる音の振動数ですが、さっきのドップラー効果についての説明にあるとおり、互いに近づくと音は高く聞こえるんですから、この時点で振動数は$f_1$より大きくなるとわかりますが、公式を使って確認していきましょう。
観測者の速度は$v$で、音源は動かないんですから、この速度は0です。ただし、観測者は音源が発している音の方向と反対の方向に進んでいるわけですから、速度は$-v$と考えないといけません。よって、このとき観測者が感知する振動数を$f_1'$とすると、
\( \displaystyle f_1' = \frac{V-(-v)}{V-0}f_1 = \frac{V+v}{V}f_1＞f_1 \)
これで音源の振動数$f_1$よりも大きいことがわかります。
次に、音波の波長について考えますが、音源は動かないんですから、観測者が動いたとしても音源が出す波長は変化しません。よって、波の公式\( V = fλ \)より、求める波長を$λ_0$とすると、\( \displaystyle λ_0 = \frac{V}{f_1} \)です。
この両方が答えになっている⑧が正解ですね。
問2 \( V = fλ \)という公式を使うことを考えると、この観測者が感知する振動数がわからないと、$f$の部分に代入ができず、公式が使えなくなりますね。そこでドップラー効果の公式を使って、その振動数を求めてみましょう。
この問題では、観測者が動かず音源のほうが動いています。ということは、観測者の速度が0です。音源の速度は$v$で、音源の進む方向は発している音が進む方向と同じだから、ここではそのまま$v$としてOKです。観測者が感知する振動数を$f_2'$とするとこれは、
\( \displaystyle f_2' = \frac{V-0}{V-v}f_2 = \frac{V}{V-v}f_2 \)
よって、これを代入すると、
\( \displaystyle λ = \frac{V}{f_2'} \)
\( \displaystyle = V÷\frac{V}{V-v}f_2 \)
\( \displaystyle = V×\frac{V-v}{Vf_2} \)
\( \displaystyle = \frac{V-v}{f_2} \)
（別解）
ドップラー効果を使わない方法で考えることもできます。
振動数というのは、1秒間に何回振動しているか、つまり1秒間に何個の波を出しているかを示した数値ですが、その1秒間をもとに考えてみます。
音源が音波を出し始めてから1秒後、音波の先端と音源の間の距離は$V-v$です（最初に音源から出た音は1秒後は$V$まで進み、その間に音源は$v$だけ進んでいるので）。その$V-v$の距離の中に、$f_2$の波があるわけです。波長というのは、そのうちの1つの波の長さのことなので、\( \displaystyle \frac{V-v}{f_2} \)となるわけです。
問3 観測者は反射板からの音を聞いているわけなので、まず音源と反射板の2つにしぼって考えましょう。反射板を観測者と見立てると、音源は静止していますから、反射板が受ける音の振動数を$f_3'$とすると、ドップラー効果の公式より、
\( \displaystyle f_3' = \frac{V-(-v)}{V-0}f_1 = \frac{V+v}{V}f_1 \)
次に、反射板と観測者の2つにしぼって考えます。反射板が音源となりますから、観測者が静止し、音源が動いていると考えることができますね。反射板の速度は$v$で、反射板の進む方向は、反射板が出す音の進行方向と同じなので、
\( \displaystyle f_3 = \frac{V-0}{V-v}f_3' \)
\( \displaystyle = \frac{V}{V-v}×\frac{V+v}{V}f_1 \)
\( \displaystyle = \frac{V+v}{V-v}f_1 \)
よって、
\( f_3(V-v) = f_1(V+v) \)
\( f_3V-f_3v = f_1V+f_1v \)
\( f_3v+f_1v = f_3V-f_1V \)
\( (f_3+f_1)v = (f_3-f_1)V \)
これより、\( \displaystyle v = \frac{f_3-f_1}{f_3+f_1}V \)です。
答え．
問1 ⑧ 問2 ② 問3 ①