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この問題のポイント

（１）この実験は真空中で行われています。そして、薄膜などの物体があるわけでもないので、干渉によって明線になる条件は、こんなふうになります。

真空中なので、光路差は経路差と等しいので、経路差を考えましょう。
まず、$A$→$B$→$A$→$D$と進んだ光はどれだけの距離を進んだかを考えます。$A$と$B$との距離は$l_1$です。そして、$A$→$D$の距離を$AD$とおくと、$A$→$B$→$A$→$D$の距離は\( l_1+l_1+AD = 2l_1+AD \)です。

同じように、$A$→$C$→$A$→$D$と進んだ光についても考えると、$A$と$C$との距離は$l_2$なので、\( l_2+l_2+AD = 2l_2+AD \)です。
よって、経路差は
\( 2l_1+AD-(2l_2+AD) \)
\( = 2(l_1-l_2) \)です。

波長はλと問題文にありましたから、条件は、
\( 2(l_1-l_2) = λ×m \) （$m$は整数）

ちなみに、\( l_1-l_2 \)が負の数になる場合もあるから絶対値を使うという書き方でもOKです。その場合は、条件はこのようになりますね。

\( 2|l_1-l_2| = λ×m \)（$m$ = 0，1，2，…）

ただし、あとの問題の計算でも使うので、絶対値の記号を使うよりも（　　）を使った形にして$m$を負まで含む整数としたほうがやりやすいですね。

解答のチェックポイント

• 光路差＝λ×$m$の公式を使っているか
• $m$は小数や分数ではないという条件（つまり整数だということ）をきちんと示しているか

（２）（１）で求めた
\( 2(l_1-l_2) = λ×m \)…①
の式を使って考えましょう。

$A$→$B$→$A$の部分の光路長は、$2l_1$から\( 2(l_1-x) \)に減りました。
さらに、明暗を10回くりかえしたんですから、①の右辺の$m$は$m-10$に減ります。なので、
\( 2\{(l_1-x)-l_2\} = λ×(m-10) \)…②

①式から②式を辺々引くと
\( 2x = 10λ \)
\( x = 5λ \)

（３）空気を入れているところに注意しないといけません。真空中のときとはちがって、空気の部分の光路長は屈折率$n$（$n＞1$）倍だけ大きくなるからです。

$A$→$B$→$A$の部分の光路長は、$2l_1$から\( 2\{(l_1-d)+nd\} \)に増えます。
そして、1気圧で明暗がちょうど$N$回だったんですから、①の右辺の$m$は$m+N$と増えます。なので、
\( 2\{(l_1-d)+nd-l_2\} = λ×(m+N) \)…③

③式から①式を辺々引くと
\( 2nd-2d = Nλ \)
\( \displaystyle n = \frac{Nλ}{2d}+1 \)

もちろんこのような形でも正解です。
\( \displaystyle n = \frac{Nλ+2d}{2d} \)

答え．
（１）\( 2(l_1-l_2) = λ×m \) （$m$は整数）
（２）\( x = 5λ \)
（３）\( \displaystyle n = \frac{Nλ}{2d}+1 \)