問題ページにもどる

この問題のポイント

（１）中性子や陽子などが核反応を起こして原子核になったとき、その質量が減少します。この現象のことを質量欠損といいます。

今回の実験では、陽子をリチウム原子核に当てた、つまり合わせたら、2個の$α$粒子が生まれたということなので、陽子とリチウム原子核との合計と$α$粒子2個の間で差が生じていることになります。計算すると、

\( \small{1.67×10^{-27}+11.65×10^{-27}-2×6.65×10^{-27}} \)
\( \small{= (1.67+11.65-2×6.65)×10^{-27}} \)
\( \small{= 0.02×10^{-27}} \)

有効数字は2けたで答えるという条件なので、そのように変換しましょう。

\( 0.02×10^{-27} \)
\( = 2.0×10^{-2}×10^{-27} \)
\( = 2.0×10^{-29} \)

よって、\( 2.0×10^{-29} \)kgとなります。

（２）（１）でなくなった分の質量が求まりましたが、そのなくなった質量はどうなってしまったのかというと、エネルギーとなってしまったのです。それを求める問題ということですね。

質量がエネルギーに変わるときに使われる公式はこれです。

この公式にあてはめれば簡単ですね。

\( E = 2.0×10^{-29}×(3.00×10^8)^2 \)
\( = 2.0×10^{-29}×9.0×10^{16} \)
\( = 18.0×10^{-13} \)

有効数字は2けたで答えますから、

\( 18.0×10^{-13} \)
\( = 1.8×10×10^{-13} \)
\( = 1.8×10^{-12} \)

つまり、\( 1.8×10^{-12} \)Jですね。

（３）エネルギー保存の法則というのがありますが、これは核反応についても一緒です。
今回の実験でいうと、陽子がリチウム原子核に当たるまでに進んでいたときのエネルギーと、リチウム原子核に当たって質量欠損で生じたエネルギー（（２）で求めたエネルギー）の2つの合計が、そのまま$α$粒子の運動エネルギーに使われたので、その運動エネルギーに等しいということになります。

まず、陽子がリチウム原子核に当たるまでに進んでいたときのエネルギーをJに変換して、（２）で求めたエネルギーの単位と統一しておきましょう。\( (1.10×10^6×1.60×10^{-19}) \)Jとなります。あとでいろいろ計算しないといけないので、そのときにまとめて計算することにしましょう。

これと（２）で求めたエネルギーの合計が、2個の$α$粒子の運動エネルギーに等しいので、1個の$α$粒子の運動エネルギーを$K$とすると、

\begin{eqnarray} &&\small{K = \frac{(1.10×10^6×1.60×10^{-19})+1.8×10^{-12}}{2}}\\ &&\small{= \frac{1.76×10^{-13}+18×10^{-1}×10^{-12}}{2}}\\ &&\small{= \frac{1.76×10^{-13}+18×10^{-13}}{2}}\\ &&\small{= 9.88×10^{-13}} \end{eqnarray}

そして、運動エネルギーといえば、
\( \displaystyle K = \frac{1}{2}mv^2 \)
という公式を思い出すはずです。これを使えば、速さが求まりますからこれを利用しましょう。代入していくと、

\begin{eqnarray} &&9.88×10^{-13} = \frac{1}{2}×6.65×10^{-27}×v^2\\ &&2×9.88×10^{-13} = 6.65×10^{-27}×v^2\\ &&v^2 = \frac{2×9.88×10^{-13}}{6.65×10^{-27}}\\ \end{eqnarray}

これの平方根を計算していきます。割り切れない数になるので、近似値をとる形になりますが、それで計算すると\( v ≒ 1.7×10^7 \)m/sです。

答え．
（１）\( 2.0×10^{-29} \)kg
（２）\( 1.8×10^{-12} \)J
（３）\( 1.7×10^7 \)m/s