この問題のポイント
あることが起こらない確率は、1-（あることが起こる確率）で求まる！
「少なくとも～」の確率はこれを使うことが多い！
まず、少なくとも1枚のコインが裏となる確率を考えましょう。「少なくとも1枚」なんですから、1枚が裏となる確率、2枚が裏となる確率、3枚が裏とある確率をすべて考えていかないといけません。
この問題の場合でしたらこの3つの場合を考えるだけでいいですが、たとえばコインの枚数が6枚や7枚となると、考えなければいけない確率がもっと増えて計算に手間がかかります。
「少なくとも～」ということの確率は、「この問題のポイント」にある公式を使うとラクに求まることが多いです。つまり、反対のことが起こる確率を1からひけばいいというわけですね。
「少なくとも1枚のコインが裏となる」の反対は、「1枚もコインが裏にならない」、つまり「コイン3枚がみんな表となる」ですね。これの確率は簡単に求まるはずです。
1枚のコインが表になる確率は\( \displaystyle \frac{1}{2} \)です。
それが3枚あるんですから、3枚のコインがみんな表となる確率は
\( \displaystyle \frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)
なので、少なくとも1枚のコインが裏となる確率は
\( \displaystyle 1-\frac{1}{8} = \frac{7}{8} \)
次に、少なくとも1回はすべてのコインが表となる確率を考えます。これも「少なくとも」とあるんですから、反対のことが起こる確率を考えましょう。
「少なくとも1回はすべてのコインが表となる」の反対は、「1回もすべてのコインが表にならない」、つまり「どの回も1枚はコインが裏になる」ということになります。ということは、3回ともすべて、少なくとも1枚はコインが裏になっているということになりますね？
少なくとも1枚はコインが裏になる確率は、さっき求めました。それが3回続くわけなんですから、3回ともすべて、少なくとも1枚はコインが裏になる確率は
\( \displaystyle \frac{7}{8}×\frac{7}{8}×\frac{7}{8} = \frac{343}{512} \)
よって、さっきと同じように1からひいて求めると、少なくとも1回はすべてのコインが表となる確率は
\( \displaystyle 1-\frac{343}{512} = \frac{169}{512} \)
答え．
1つ目の空所…\( \displaystyle \frac{7}{8} \)
2つ目の空所…\( \displaystyle \frac{169}{512} \)