この問題のポイント
平方根の整数部分は、N≦（平方根）≦N+1の形を考えてNが整数部分と考える！
小数部分は、Nをひいた値と考えればOK！
（１）平方根の整数部分や小数部分についての問題は、その数が整数の何と何の間にあるかを考えましょう。たとえば、この問題の\(\sqrt{3}\)ならば、
\(\sqrt{3}\) = 1.7320508…
ですから、1＜\(\sqrt{3}\)＜2といえます。このように、$N$と$N+1$の間、つまりなんらかの整数とその整数より1だけ大きい数の間にあるという形にするのがポイントです。このようにすると、整数部分は$N$の値と同じと考えることができるからです。
この問題で出題されている\(\sqrt{3}\)の場合だったら、1＜\(\sqrt{3}\)＜2より、整数部分は1ですね（1.7320508…とさっき書いたので、それを見れば一応わかるのですが）。そして、小数部分ですが、それは上にも書いてあるとおり、その$N$をひいた値だと考えればいいのです。
\(\sqrt{3}\)の整数部分は1なので、\(\sqrt{3}\)の小数部分は\( \sqrt{3}-1 \)となります。たしかに、1.7320508…から1をひけば、0.7320508…となり、ちょうど小数だけということになりますね。よって、\( a = \sqrt{3}-1 \)といえます。
これを代入すればいいのですが、そのまま代入すると、少し計算がめんどくさそうです。ただ、よく見ると、因数分解できそうな式がいっぱいありますから、因数分解をして計算すると、簡単な形になりそうですから、計算してみましょう。まず因数分解すると、
\( \displaystyle \frac{a(a-2)}{a-1}÷\frac{(a-2)(a+1)}{(a+1)(a-1)} \)
分数の割り算ですから、分母と分子を逆にして、
\( \displaystyle \frac{a(a-2)}{a-1}×\frac{(a+1)(a-1)}{(a-2)(a+1)} \)
すると、約分ができますから、結局、$a$だけが残るということになります。ということで、この式の値は、さっき求めた値である\( \sqrt{3}-1 \)となります。
（重要）
さっきのように、1.7320508…のようなおおよその小数がわかればいいのですが、わからない場合はどうしたらいいでしょう？その場合は、「2乗」して考えましょう。
たとえば、\(\sqrt{10}\)を例にとってみます。これの2乗はもちろん10です。
次に、整数の2乗の数を考えていきます。
\( 2^2 = 4 \)
\( 3^2 = 9 \)
\( 4^2 = 16 \)
です。さっきの10は、9と16の間の数ですから、9＜10＜16といえますね。
9＜10＜16ということは、
$3^2$＜\( (\sqrt{10})^2 \)＜$4^2$ですから、
3＜\(\sqrt{10}\)＜4
これより、\(\sqrt{10}\)の整数部分は3ということになります。（現に、\(\sqrt{10}\) = 3.162277…ですから、正しいことがわかります。）
このように2乗をとって考えると、整数部分や小数部分が考えやすくなります。
（２）\(\sqrt{3}\)とちがって、この数式はおおよその小数がわかりませんから、（重要）にあったとおり、2乗をして考えてみましょう。2乗すると、
\( \displaystyle \frac{(\sqrt{5}+2)^2}{(\sqrt{3})^2} \)
\( \displaystyle = \frac{5+4\sqrt{5}+4}{3} \)
\( \displaystyle = \frac{9+4\sqrt{5}}{3} \)
\(4\sqrt{5} = \sqrt{80}\)ですから、\( (4\sqrt{5})^2 = 80 \)です。$8^2$＜80＜$9^2$ですから、8＜\(4\sqrt{5}\)＜9
それぞれに9をたすと、17＜\(9+4\sqrt{5}\)＜18
よって、
\( \displaystyle \frac{17}{3}＜\frac{9+4\sqrt{5}}{3}＜\frac{18}{3}= 6 \)
6というのは$3^2$(= 9)より小さい数です。
\( \displaystyle \frac{17}{3} \)は$2^2$(= 4)より大きい数です。
これより、
\( \displaystyle 2^2＜\frac{9+4\sqrt{5}}{3}＜3^2 \)
2乗どうしの数の間という判断がこれでできたので、
\( \displaystyle 2＜\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{3}}＜3 \)
これより、整数部分は2だとわかりました。つまり、\( a = 2 \)なので、それを代入すると、
\( (\sqrt{5}+2-2)(\sqrt{5}-2+2) \)
\( = \sqrt{5}×\sqrt{5} \)
= 5
（別解）
分母を有理化して考えることもできます。分母と分子両方に\(\sqrt{3}\)をかけると、
\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+2)}{3} \)
\( \displaystyle = \frac{\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{3} \)
$3^2$＜15＜$4^2$なので、3＜\(\sqrt{15}\)＜4
\( 2\sqrt{3} = \sqrt{12} \)であり、$3^2$＜12＜$4^2$なので、3＜\(2\sqrt{3}\)＜4
これより、6＜\(\sqrt{15}+2\sqrt{3}\)＜8
そして、それぞれを3でわると、
\( \displaystyle 2＜\frac{\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{3}＜\frac{8}{3}= 2.666… \)
2より大きく、2.666…より小さいということは、整数部分は2としか考えられません。よって、\( a = 2 \)とすることができます。このようにして、$a$の値を求めることもできます。
答え．
（１）\( \sqrt{3}-1 \)
（２）5