この問題のポイント
相似な三角形では対応している辺どうしの比は同じことを利用して辺の長さを求めよう！
（１）問題文で与えられている長さは\( AF = 3 \)，\( AE = a \)ということしかありません。そこで、この問題を解くカギとなるのは、その2辺を含んだ三角形である$△AFE$にあると考えましょう。
さらに、この問題の図には正方形があり、平行線がいっぱいひかれています。このような、平行線がいっぱいある問題では、相似を使って解くことが考えられるものが多いです。
ここでも、$△AFE$と相似な三角形を考えてみます。できれば線分$DH$を含んだ三角形だと、問題を解くのに都合がいいですが、それを考慮して考えると、$△DFH$が相似だといえますね？
（対頂角だから\( ∠AFE = ∠DFH \)，$AB$と$CD$は平行なんですから、その錯角で\( ∠FAE = ∠FDH \)で、2組の角がそれぞれ等しいからです）
ということは、対応する辺どうしの比は等しいんで、
\( AF：DF = AE：DH \)
\( 3：(8-3) = a：DH \)
\( 3DH = 5a \)
これより、\( \displaystyle DH = \frac{5}{3}a \)
（２）底辺と高さ、それぞれの長さがわかっていないと面積を求めることはできません。$△EGI$では、底辺を$GI$とすると、高さは$EB$となり、この2つの長さがわかれば、面積を求めることができそうです。
$GI$の長さについてですが、$BI$の長さは$AF$と同じはずですから、\( BI = 3 \)といえます。あとは$GB$の長ささえわかればいいのですが、それも（１）と同じように相似を利用して考えてみましょう。
$△AFE$と相似な三角形で、できれば$GB$を含んだ三角形と考えると、$△BGE$が相似だといえます。
（対頂角だから\( ∠AEF = BEG \)，$x$軸と$AD$は平行なんですから、その錯角で\( ∠FAE = ∠GBE \)で、2組の角がそれぞれ等しいからですね）
よって、\( FA：GB = AE：BE \)
\( 3：GB = a：(8-a) \)
\( aGB = 3(8-a) \)
\( aGB = 24-3a \)
0＜$a$＜8なので、\( a≠0 \)より、\( \displaystyle GB = \frac{24-3a}{a} \)
これで$GB$の長さがわかりましたから、$GI$の長さは、\( GI = GB+BI \)より、
\( \displaystyle GB = \frac{24-3a}{a}+3 \)
\( \displaystyle = \frac{24-3a+3a}{a} \)
\( \displaystyle = \frac{24}{a} \)
$△EGI$の高さである$EB$については、
\( EB = AB - AE = 8-a \)
よって、$△EGI$の面積は、
\( \displaystyle \frac{24}{a}×(8-a)×\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle = \frac{24(8-a)}{2a} \)
\( \displaystyle = \frac{12(8-a)}{a} \)
\( \displaystyle = \frac{96-12a}{a} \)
（３）（２）と同じように、底辺と高さの長さを考えていって面積を求めていくことで考えてみましょう。
まず、$△EGB$については、底辺が$BI$、高さが$EB$となり、これらの長さは（２）で求めたのでそれを利用すると、面積は\( \displaystyle \frac{3(8-a)}{2} \)
$△HFD$については、底辺が$FD$、高さが$HD$とおくことができます。$FD$の長さは、正方形1辺の長さから$AF$の長さをひくので5です。$HD$についてはまだ求めていませんから、これについて考えていきます。
ここで、$△EGB$と$△HFD$の相似比が2：1ということを利用しましょう。ちょうど$△HFD$が$HD$を含んだ三角形なので、都合がいいですね。
$△EGB$について、$HD$に対応した辺は$EB$ですが、$EB$の長さは$8-a$ですから、
\( EB：HD = 2：1 \)
\( (8-a)：HD = 2：1 \)
\( 2HD = 8-a \)
\( \displaystyle HD = \frac{8-a}{2} \)
よって、$△HFD$の面積は、
\( \displaystyle \frac{8-a}{2}×5×\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle = \frac{5(8-a)}{4} \)
これで2つの三角形の面積が求まりましたから、それを使って、
\( \displaystyle \frac{3(8-a)}{2}÷\frac{5(8-a)}{4} \)
\( \displaystyle = \frac{3(8-a)}{2}×\frac{4}{5(8-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{6}{5} \)倍
答え．
（１）\( \displaystyle \frac{5}{3}a \)
（２）\( \displaystyle \frac{96-12a}{a} \)
（３）\( \displaystyle \frac{6}{5} \)倍