この問題のポイント
簡単にわかる等しい辺や角から、使えそうな合同条件を考えていこう!
重なっている部分がある辺や角は分解して考えよう!

まず、このような証明問題では、長さが等しい辺や角度が等しい角に印をつけるようにしましょう。この問題では、△ABCと△ADEが正三角形だということが言われてますから、この三角形の辺の長さはそれぞれ等しいです。右の図のように印をつけることができますね。
それ以外は、特に「この辺とこの辺が等しい」とか「こことここの角が等しい」というような内容は書かれてませんから、これ以上印をつけることができません。そのときは、あらためて証明しないといけない2つの三角形にたちかえります。
△ABDと△ACEについて見ると、ABとAC、ADとAEそれぞれ同じ印がついてますね?そうすると、ちょうど2辺について等しいとわかったわけなんですから、∠BADと∠CAEが等しいとわかれば、「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」という合同条件を使うことができます。
このように、合同の証明をするときは、等しいとわかっているものを見直して、そこから使えそうな合同条件を導き出すとやりやすいですよ。
さて、∠BADと∠CAEについてですが、この2つの角は、よく見るとどっちも∠CADを含んでいますね。このように、重なっている部分がある場合は、何の角と何の角で組み合わさっているか、何の辺と何の辺で組み合わさっているかをもとに考えると、ヒントが見つかる場合があります。
たとえば、今回の問題だと、
∠BAD=∠BAC+∠CAD
∠CAE=∠EAD+∠CAD
というふうに考えます。
ここで、∠BACも∠EADも、どっちも正三角形の角なんですから、これらは絶対に60°です。ということは、∠BADも∠CAEも、どっちも60°+∠CADという式になるんで、等しいということになります。
解答のチェックポイント
- 「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」という合同条件を利用して証明しているか
- △ABCと△ADEが正三角形であることを利用して、△ABDと△ACEの等しい辺を見つけているか
- ∠BADと∠CAEは60°+∠CADであることを述べているか
答え(解答例).
△ABDと△ACEにおいて、
△ABCは正三角形なので、AB=AC…①
△ADEは正三角形なので、AD=AE…②
∠BADも∠CAEにおいて、
∠BAD=∠BAC+∠CAD…③
∠CAE=∠EAD+∠CAD…④
△ABCと△ADEは正三角形なので、
∠BAC=∠EAD=60°
これを、③と④に代入すると、
∠BAD=60°+∠CAD=∠CAE…⑤
①,②,⑤より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABD≡△ACE