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この問題のポイント

簡単にわかる等しい辺や角から、使えそうな合同条件を考えていこう!
重なっている部分がある辺や角は分解して考えよう!

中学 数学 問題演習 合同の証明の解説における図

まず、このような証明問題では、長さが等しい辺や角度が等しい角に印をつけるようにしましょう。この問題では、ABCADEが正三角形だということが言われてますから、この三角形の辺の長さはそれぞれ等しいです。右の図のように印をつけることができますね。

それ以外は、特に「この辺とこの辺が等しい」とか「こことここの角が等しい」というような内容は書かれてませんから、これ以上印をつけることができません。そのときは、あらためて証明しないといけない2つの三角形にたちかえります。

ABDACEについて見ると、ABACADAEそれぞれ同じ印がついてますね?そうすると、ちょうど2辺について等しいとわかったわけなんですから、BADCAEが等しいとわかれば、「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」という合同条件を使うことができます。

このように、合同の証明をするときは、等しいとわかっているものを見直して、そこから使えそうな合同条件を導き出すとやりやすいですよ

さて、BADCAEについてですが、この2つの角は、よく見るとどっちもCADを含んでいますね。このように、重なっている部分がある場合は、何の角と何の角で組み合わさっているか、何の辺と何の辺で組み合わさっているかをもとに考えると、ヒントが見つかる場合があります。

たとえば、今回の問題だと、
BAD=BAC+CAD
CAE=EAD+CAD
というふうに考えます。

ここで、BACEADも、どっちも正三角形の角なんですから、これらは絶対に60°です。ということは、BADCAEも、どっちも60°+CADという式になるんで、等しいということになります。

解答のチェックポイント

答え(解答例).
ABDACEにおいて、
ABCは正三角形なので、AB=AC…①
ADEは正三角形なので、AD=AE…②
BADCAEにおいて、
BAD=BAC+CAD…③
CAE=EAD+CAD…④
ABCADEは正三角形なので、
BAC=EAD=60°
これを、③と④に代入すると、
BAD=60°+CAD=CAE…⑤
①,②,⑤より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
ABDACE