この問題のポイント
因数分解の操作と逆のことをするのが展開だということを利用しよう！
もし、「\( x^2+6x+8 \)を因数分解しなさい」という問題がでたら、どのように答えるでしょう？\( (x+2)(x+4) \)ですね。
では、「\( (x+2)(x+4) \)を展開しなさい」という問題がでたら、どうでしょう？\( x^2+6x+8 \)が答えになりますね。
この例を見てわかったかもしれませんが、展開と因数分解はちょうど逆の操作をしている、コインでたとえれば表裏のような関係にあることがわかりますね。では、問題で出てた因数分解された式も展開してみると何か見えてくるかもしれません。
\( (x+3)(x+m) \)を展開すると、
\( (x+3)(x+m) \)
\( = x^2+mx+3x+3m \)
\( = x^2+(m+3)x+3m \)
これが、\( x^2-2x+a \)となるはずですね。ということは、それぞれの式の係数などはこのようになればいいはずです。
\( m+3 = -2 \) …①
\( 3m = a \) …②
①を解くと、\( m = -5 \)
これを②に代入すると、
\( a = 3×(-5) = -15 \)
つまり、もともとの式は\( x^2-2x-15 \)で、因数分解された式は、\( m = -5 \) なので、\( (x+3)(x-5) \)だったというわけです。
答え． \( a = -15 \)