この問題のポイント
∠BDCの角度を求めるのだから、△BDCに着目しよう！
「三角形の外角は、それと隣り合わない２つの内角の和に等しい」ことを利用しよう！
$∠BDC$を求めるわけですから、その$∠BDC$を含んでいる三角形、△$BDC$について、考えていきましょう。
すると、$∠DBC$についてですが、これは、$∠ABC$に二等分線が引かれていたわけですから、角度は$∠ABC$の半分となります。よって、
$∠DBC$ = 70÷2 = 35°
さて、ここで、△$BDC$を見ていて、あることに気づきませんか？ちょうど辺$BC$には、半直線が引かれていて、ちょうど外角（$∠DCE$）ができていますね。外角が出来ていれば、「三角形の外角は、それと隣り合わない２つの内角の和に等しい」という性質が使えるのでは？と考えましょう。
今回の△$BDC$についてだと、
\( ∠BDC + ∠DBC = ∠DCE \)…①
が成り立ちます。
$∠DCE$は$∠ACE$の半分ですね。$∠ACE$はというと、これは△$ABC$の外角ですから、
$∠ACE$ = $∠BAC$ + $∠ABC$ = 50+70 = 120°
よって、$∠DCE$ = 120÷2 = 60°ですから、①の式より、
$∠BDC$ +35 = 60
$∠BDC$ = 25°
（別解）
△$BDC$に着目するのは同じですが、△$BDC$の内角１つ１つを求めていくという方法もあります。
$∠DBC$は、さきほどと同じ理由で35°です。
一方、$∠DCB$ですが、これはよく見ると、$∠ACB$と$∠DCA$が合わさってできた角です。$∠DCA$については、$∠ACE$の半分なのですから、さっきの解説にも触れた$∠DCE$と同じ角度なので、60°ですね。
$∠ACB$については、これは△$ABC$の内角の一つです。$∠BAC$ = 50°、$∠ABC$ = 70°で、三角形の内角の和は180°なのですから、
$∠ACB$ = 180- $∠BAC$ - $∠ABC$ = 180-50-70 = 60°
よって、$∠DCB$ = $∠ACB$ + $∠DCA$ = 60+60 =120°
そして、△$BDC$においても、三角形の内角の和は180°ですよね。
$∠DBC$の角度も$∠DCB$の角度もわかりましたから、
$∠BDC$ = 180- $∠DBC$ - $∠DCB$ = 180-35-120 = 25°
答え． 25°