この問題のポイント
相似比がm:nならば、体積比はm3:n3ということを利用して、まずは円錐全体の体積を知ろう！
あとどれだけの水を入れると、容器がいっぱいになるかを計算するためには、容器が全体でどれだけの水を入れることができるのかを知らなければいけません。なので、それを計算して求めていきましょう。
今、容器には全体の5分の3の高さまで水が入っています。ということは、言い換えれば、容器全体の高さを仮に5とおくと、水は3の高さまで入っていると考えることができます。
容器全体が5だと、水の高さは3ということで、相似比は、水：容器＝3:5ということができます。
相似比が$m$:$n$ならば、体積比は$m^3$:$n^3$、つまり、体積比は相似比の3乗です。よって、水の体積と容器全体の体積の比は、
33:53 = 27:125
そして、実際に入っている水の量は、405cm3でした。ということは、容器全体に入る量を$x$cm3とすると、
27:125 = 405:$x$
これを解くと、$x$ = 1875
つまり、容器全体では、水は1875cm3入れることができるのです。これで、容器全体の量を求めることができました。
そして、すでに水は405cm3入っているのですから、あと入れることができる水の量は
1875－405 = 1470cm3ですね。
（別解）
水の体積と容器全体の体積の比は、27:125だということを求めました。それを利用した別解を紹介しましょう。
比が27:125ということは、容器全体の体積を125とおくと、そのうち27の分だけ水が入っているということになります。よって、水が入っていない体積は、125－27 = 98ということになります。
つまり、容器のうち、水が入っている部分の体積と入っていない部分の体積の比は、27:98となります。そして、水は実際には、405cm3入ってましたから、水が入っていない部分の体積を$y$cm3とおくと、
27:98 = 405:$y$
この$y$cm3が、問題で聞かれていた「あとどれだけ水を入れたら容器がいっぱいになるか」の量になります。実際にこれを解くと、$y$ = 1470 となります。
答え． 1470cm3