この問題のポイント
√a2 = a を利用して、√の中身が２乗の数になるようにしよう！
たとえば、\(\sqrt{36} = \sqrt{6^2} = 6 \) とか、\(\sqrt{121} = \sqrt{11^2} = 11 \) のように、√の中にある数が何かの２乗になっていれば、√をはずすことができます。
この問題では、\(\sqrt{60a}\)を整数にすればいいのですから、$60a$が何かの整数の２乗になるようにすればいいはずですね。
もちろん、「$a$は自然数」と問題に書いてあるので、$a$に１，２，３，…と順に代入して計算してもいいのですが、それでは時間がかかる場合もあります。ここでは、もう一つの解き方を説明しましょう。
６０というのは、素因数分解すると、
60 = 2×2×3×5 = 22×3×5
です。√の中身が２乗ならば、√ははずれるのですから、この60に、あとは3と5が掛け合わさってくれれば、3と5についても２乗ができます。
ということは、60と掛け算になっている$a$については、この3と5を掛け合わせる役目を負えばいいということになります。
よって、\(a = 3×5 = 15 \) が答えとなります。
ちなみに、\(a = 15 \)を実際に代入して調べてみましょう。
\(\sqrt{(60×15)} = \sqrt{900} = \sqrt{30^2} = 30 \)
ちゃんと整数になりましたね。
答え． \(a = 15 \)