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この問題のポイント

この問題では、弦のある部分を指でおさえているため、弦の長さが変わってしまっています。このような問題で、振動数を考えるときに、弦の固有振動数の公式を使うことを考えましょう。

（１）弦の長さの$\displaystyle \frac{1}{4}$のところでおさえ、その長いほうを使うので、弦の長さは$l$の$\displaystyle \frac{3}{4}$と考えましょう。このときの音の振動数$f'$は、この長さの弦の基本振動数に等しいですね。

この$f'$の弦の音と440Hzのおんさを同時に鳴らしたとき、毎秒4回のうなりが出て、弦の音のほうが低い音ですから、
$f'$ = 440-4 = 436Hz

よって、$f'$ = 436Hzということと、弦がもとの長さ$l$のときの基本振動数の2点は、上の公式を使ってあらわすと、
$\displaystyle 436 = v÷\left(2×\frac{3}{4}l\right)$…①
$f = v÷2l$…②

①の式の$\displaystyle \frac{3}{4}$だけが消えれば、右辺は②と同じになりますから、①の両辺に$\displaystyle \frac{3}{4}$をかけて$f$を求めると、
$\displaystyle f = 436×\frac{3}{4}$
= 327Hz

（２）弦を張る力を強くしたので、波の速さが$v'$に変わったとします。うなりはもう聞こえなくなりました。弦の長さは$l$の$\displaystyle \frac{3}{4}$のときだったはずなので、この長さのときは、基本振動数はちょうど440Hzになったと考えられます。よって、上の公式を利用すると、
$\displaystyle 440 = v'÷\left(2×\frac{3}{4}l\right)$
$\displaystyle 440 = v'÷\frac{3}{2}l$…③

指を軽く触れて弦をはじいたときは、指のところで節となる図のような3倍振動となります。

よって、この振動数を$f$とすると
$f = 3v'÷2l$…④

③、④式より、
$\displaystyle f = \frac{3}{2}×\frac{v'}{l}$
$\displaystyle = \frac{3}{2}×\frac{3}{2}×440$
= 990Hz

この弦の振動で出る音の振動数も$f$に等しいので、これが答えになります。

答え．　（１）327Hz　　　（２）990Hz