この問題のポイント
現実とは異なることについて述べるときは仮定法を使い、動詞などは過去形にする！
解答
（１）イ （２）エ
（３）ア （４）エ
解説
（１）「もし太陽が1秒間消えるなら、世界に何が起こるでしょうか？」
What would happenとありますが、あまり見慣れない単語が使われていますね？これは何かを解くカギは、問題で与えられた英文の真ん中あたりにあるifにあります。
ifは「もし～なら」という意味の単語です。実は、英語では、現実とは違うこと、現実ではありえないことについて「もし○○だったら…」と仮定するときは仮定法という文法を使います。この文法を使うことで、「あ、この仮定は現実とは違うことについて言ってるんだな」とすぐにわかるようになっているわけです。
仮定法の文の基本的な形はこのようなものになっています。
仮定法で「もし○○が～なら、△△は…だろう」という文の形
If ○○ 過去形 ～, △△ would ….
さっき少し着目していた単語のwouldはwill（～だろう）の過去形です。つまり、仮定法では前半部分でも後半部分でも過去形にあたる形を使うというわけですね。
そのwouldがあるということは、この問題で与えられた英文は仮定法を使っているということになります。よって、空所となっているdisappear（消える）も過去形にする必要があるので、イが正解というわけです。太陽が消えるということは、現実に起こるとは考えにくいですよね？だから仮定法を使っているわけです。
（２）「もし明日雨が降るなら、私たちは学校の遠足に行くことができないでしょう。」
ifを使っていることはさっきの（１）と同じです。ただし、さっきの（１）ではwouldが使われていましたが、この問題ではwouldはなく、ふつうのwillが使われています。ということは、この文は仮定法が使われているというわけではありません。
さっきの解説にもあったように、仮定法は現実とは違うこと、現実ではありえないことについて述べるときに使います。選択肢で使われているrainは「雨が降る」という意味ですが、雨が降ることは現実世界ではいくらでも起こることですから、仮定法を使わなくていいわけですね。
仮定法を使わなくていいので過去形にする必要はありません。tomorrow（明日）とあるからwillを使った選択肢が正解と思われるかもしれませんが、ifがかかっている部分（「もし～なら」と述べている部分）は未来のことでも現在形で書かないといけません。なので、ここではrainsとしているエが正解となります。
（３）「もしあなたがここにいるなら、私は幸せでしょう。」
ifを使っていて、しかもwouldが使われているということで、さっきの（１）と文の形は同じです。よって、この文は仮定法を使ったものなんですから、動詞は過去形にしないといけません。ちなみに、仮定法なんですから、この文からは、「あなた」が今ここにはいないということもわかりますね？
選択肢の中で、過去形になっているのはアしかありませんから、これが正解ということになります。ちなみに、仮定法ではbe動詞はwereを使うのが原則です。主語がIやheなどの場合はふつうはwasとするのですが、仮定法ではI wereとかhe wereなどとしていいんです。少し違和感を感じるかもしれませんが、wasやwereの使い分けをしなくていいのはラクですね。
（４）「月の上に住むことができればいいのに。」
現実では不可能なこと、実現できなさそうな願望について「～ならいいのに」と述べるときは、I wish ～という表現を使います。現実とは異なることについて述べるわけですから、I wishにつづく部分は仮定法を使うということで過去形にしないといけません。
この問題では何を望んでいるかというと、「月の上に住むことができる」ということです。実際は月に住むことはできませんから、仮定法を使うので、「住むことができる」の英語、can liveを過去形にする必要があるということになります。
canの過去形はcouldなので、could liveとしているエが正解ですね（ほかの選択肢は過去形をまったく使っていません）。