この問題のポイント
動名詞は～ing形で「～すること」の意味をあらわす！
動名詞が使えるシチュエーションに注意！
解答
（１）イ （２）ウ （３）ア
（４）イ （５）ウ
解説
（１）「あなたは友だちとテニスをすることが好きですか？」
like（～が好きだ）という動詞の後に、play（～をする）を置くけれどもどんな形にすればいいかというのを考えなければならないようです。英語ではふつう、動詞を2つ並べることはできません。ただ、この問題のように、どうしても動詞をつづけたいという場合は、どちらかの形を変える必要があるんです。
この問題の場合だったら、「テニスをするが好き」というように並べるとおかしいですよね？でも「テニスをすることが好き」とすれば意味が通ります。「～すること」は～ing形であらわすことができ、この～ing形を動名詞といいます。よって、イのplayingにすればlikeの後につづけることができるんです。
（２）「私たちは昨日、野球をすることを楽しみました。」
enjoyは「～を楽しむ」という意味で、enjoy ～ingで「～することを楽しむ」をあらわします。～ingは（１）で説明した動名詞、つまり「～すること」という意味をあらわした形です。
さて、この「～すること」という意味ですが、〈to＋動詞の原形〉の不定詞にもこのような意味がありました。これを使ってはダメなのかと思われたかもしれませんが、enjoyやfinishなどは「～すること」というのを後につづけるには動名詞のみ使えるんです。つまり、不定詞といっしょには使えないわけですね。
ちなみに、さっきの（１）ではlikeの後に動名詞がつづきましたが、like，start，beginは不定詞でも動名詞でもどちらもいっしょに使えます。動詞によって後につづけることができるものが変わるわけです。
（３）「リュウは外国で勉強する（留学する）ことを決めました。」
decide（～を決める）という動詞の後にstudy（勉強する）がつづくわけですが、ふつうにつづけると動詞が2つ並んでしまいます。「勉強することを決める」とすると意味が通りますから、その形を考えればよく、ここまではさっきの（１）と同じ考え方です。
しかし、decide，want，hopeなどは「～すること」というのを後につづけるには不定詞のみ使えるので、動名詞をつづけることはできません。よって、decide to studyとするしかできないわけなので、アが正解ということになります。
（４）「静かにしなさい。図書館の中では電話を使うことをやめなければいけません。」
stop（～をやめる）の後にuse（使う）がつづいて動詞が2つ並んでしまうので、これまでの問題と同じようにuseをどういう形にするかを考えないといけません。stop ～ingで「～することをやめる」という意味で、stopは「～すること」というのをつづけるには動名詞のみ使えます。よって、イが正解ですね。
ちなみに、stopの後に不定詞がつづくことがありますが、ここでの不定詞は「～すること」という意味にはならず、不定詞がもつ別の意味（「～するために」など）をあらわします。つまり、〈stop＋to 動詞の原形～〉で「～するために立ち止まる」という意味になります。このちがいに気をつけましょう。
例：He stopped to drink water.（彼は水を飲むために立ち止まりました。）
（５）「昨夜私に電話をかけてくれてありがとう。」
Thank you for ～.は「～をありがとう」という表現です。このforの後にcall（～に電話をかける）という動詞をどうつづけるかが問題になっているわけですね。
forは前置詞とよばれるものになるわけですが、前置詞の後に動詞をつづける場合は、その動詞はかならず動名詞の形にしなければなりません。つまり、callingという形にしないといけないわけなので、ウが正解となります。