この問題のポイント
am・isの過去形がwasでareの過去形がwere！
現在進行形のbe動詞の部分を過去形にするだけで過去進行形になる！
解答
（１）were
（２）上の文…Were 下の文…was
（３）It，was
（４）waiting，for
解説
（１）「トムと私は3年前、ニューヨーク大学の学生でした。」
be動詞を入れる問題ですが、問題文をよく見ると、three years ago（3年前）とあります。ということは、be動詞は過去形で入れないといけません。be動詞の過去形はこのようになっていましたね。
am、isの過去形→was
areの過去形→were
この文の主語はTom and I（トムと私）です。Iだけなら対応するbe動詞はamなのですが、「トムと私」の2人が主語になっています。主語が2人以上の場合はbe動詞は必ずareを使います。よって、その過去形となるわけなので、この問題で使うbe動詞はwereとなります。
（２）「あなたは去年、そのグループの一員だったのですか？―はい、そうでした。」
この文でもlast year（去年）とありますから、入れるbe動詞は過去形を使います。そして、この文は最後がクエスチョンマークで終わっていますから、疑問文だということがわかります。
be動詞の疑問文は、Are you ～?やIs he ～?のように、be動詞を前に出す形をとっていました。be動詞が過去形になっても同じです。この疑問文では、you（あなた）に対応するbe動詞を入れないといけません。ということは、areの過去形となるわけなので、wereを入れるということになります。
そして、Are you ～?（あなたは～ですか？）という疑問文について、答えるほうにとっては自分のことを聞かれているわけなので、答えるときはYes, I am.などのように、I（私）を使って答えましたね。
be動詞が過去形になってもそれは同じです。ただし、過去形で聞かれているわけなので、答えるほうも過去形を使います。つまり、amの過去形を使ってwasをここでは使うというわけです。
（３）天気などに関係する文では、itを主語におきます。天気だけでなく、時間でも同じです。人間の手ではどうすることもできないことについて、itを主語にすると考えればいいでしょう。
そして、この文では動詞にあたるものがなさそうですが、その場合はbe動詞を使うと考えましょう。itが主語ですから、対応するbe動詞はisですが、この文の日本語は過去形になっていますので、wasを使います。
また、「寒くありませんでした」とあるとおり、これは否定文です。be動詞の否定文は、I am not ～.やYou are not ～.のように、be動詞のあとにnotを入れます。be動詞が過去形のときも同じです。なので、it was not ～という語順になるわけですから、空所に入るのはitとwasということになります。
（４）この文は「～していました」という形で終わっています。「～していた」と過去にやっている最中だったことをあらわすときは過去進行形という形を使います。過去進行形は〈be動詞の過去形＋～ing形〉という形です。
この文では、he（彼）に対応するbe動詞なので、isの過去形であるwasを使います。そして、「待つ」をあらわす英語waitの～ing形といっしょになるわけなので、waitingをともに使います。was waitingで過去進行形になりますね。
そして、「～を待つ」はwait for ～という表現になりますので、forが必要になります。これらすべてから、空所に入る単語はwasがすでに問題文にありますので、waitingとforということになります。